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LA RETTA

La funzionedi primo grado y=mx+n esprime un legame di proporzionalita’ diretta tradue variabili x e y. Vogliamo dimostrare che la funzione y=mx+nrappresenta in una retta del piano riferito ad un sistema di assi cartesiani.

Iniziamo lo studio delle funzioni lineari considerando lafunzione:

y=mx con m¹0

Assegnando alla variabile x i valori 0x₁x₂si ottengono le coppie

(00)(x₁mx₁)(x₂mx₂)

che rappresentiamo sul piano dopo aver scelto per m un valorenon nullo arbitrario:

I triangoli OPQ e OP'Q' sono similiin quanto triangoli rettangoli con i cateti in proporzione poiché è

Ne segue che i tre punti OPP' sono allineati; con i precedenti tre punti èallineato qualunque altro punto le cui coordinatesiano (xmx). Con ragionamento analogo si può verificare che tutti i punti diuna retta passante per l’origine O degli assi (e non coincidente con gli assi)hanno ordinata proporzionale all’ascissa e quindi si ha:

Possiamo concludere:

La funzione y=mx si rappresenta graficamente con una retta passanteper l’origine degli assi cartesiani. Si dice anche che y=mx èl’equazione di una retta passante per l’origine degli assi

Il numero reale m è detto coefficiente angolare dellaretta e dipende dall’angolo ache la retta forma con la direzione positiva dell'asse x. Più precisamente m èuguale alla tangente goniometrica dell'angolo a.

E’ importante ricordare che la funzione y=mx esprime il legame di proporzionalita’diretta fra la grandezza x e la grandezza y.

EQUAZIONI DI RETTE PARTICOLARI

• FASCIO PROPRIO DI RETTE:y-y₀= m (x-x₀) (equazionedelle infinite rette passanti per P (x₀y₀) escluse leparallele agli assi x e y). Questa equazione si ottiene applicando alla y=mxla traslazionedi equazione t:
• EQUAZIONE ESPLICITA : y= mx+p
• EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI:

Dati due punti A e Brispettivamente di coordinate (x₁y₁)e (x₂y₂)l'equazione della retta passante per A e B èdata dalla formula :

• EQUAZIONE GENERALE DELLA RETTA: ax+by+c=0

Questa equazione rappresenta tutte le rette del piano. Il coefficienteangolare è m= -a/b

• RETTE PARALLELE E PERPENDICOLARI: due rette r e r' parallelehanno uguale coefficiente angolarecioè m=m' ; due retteperpendicolari hanno coefficienti angolari antireciprocicioè

• DISTANZA DI UNA RETTA DA UN PUNTO: dato un punto P (x₁y₁)e una retta r di equazione y=mx+pla distanza di P da r è data dallaformula:

d= oppure dalla formula d=se la retta è rappresentata dall'equazione generale.