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CONSEGUENZE DELTEOREMA DI LAGRANGE

 

1°Corollario: Se in tutto l'intervallo (a; b) si suppone f '(x₀)=0allora la funzione f(x₀) è costante in (a; b)

Dimostrazione: Prendiamo un qualsiasi punto x₀ dell'intervallo (a; b)con x₀¹aed applichiamo il teorema di Lagrange alla funzione in questionenell'intervallo (a; x₀). Siha:

[f(x₀)-f(a)]/(x₀-a)=f'(z)  [2]    con            a<z<x₀

Per ipotesi la f '(x₀)è nulla in tutto l'intervallo (a; b) e quindi f '(z)=0; dalla [2] si ricava chef(x₀)-f(a)=0  ovvero f(x₀)=f(a). La funzione cioèassume in tutti i punti di (a; b) sempre lo stesso valore f(z) per cui talefunzione è costante.

 

Di questo secondocorollario diamo solo la definizionedal momento che è di grande importanzanella pratica

 

2°Corollario: Se in un intervallo (a; b) la derivata f '(x) è semprepositivaallora la funzione è crescente in tale intervallo; se invece ènegativala funzione è decrescente