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1.1 Ascisse sulla retta
Data una retta orientata r scegliamo su di essa un qualsiasi punto O che chiameremo origine. Talepunto dividerà la retta in due semirettedi cui unadetta positivache conterrà i punti che seguono O e l'altradetta negativacheconterrà i punti che precedono O. Preso su r un altro punto Pe fissataun'unità di misura udiremo a la misura del segmento orientato ossiaporremo = a.
Il numero reale a verrà detto ascissa di P. Nesegue che l'origine ha ascissa 0.
Se A e B sono due punti di una retta orientatadi ascissa a e brispettivamentequalunque sia la posizione di tali puntirisulterà sempre: =b - a
1.2 Coordinatecartesiane dei punti del piano
Vediamo ora se è possibile - come lo è sopra la retta- fissare la posizione di un punto nel piano mediante numeri. Ciò può farsi invari modiil più semplice dei quali è il seguente.
Prendiamo nel piano due rette orientate x e y nonparallele e indichiamo con O il loro punto di intersezione.
Sullerette x e y fissiamo due sistemi di ascisseaventi entrambe l'origine in Ociascuna un'unità di misura che indicheremo rispettivamente con uxed uye come versi positivi quelli fissati. Intal modo si è stabilito sul piano un sistema di riferimento cartesiano.
Le rette orientate x ed y e le rispettive unità di misura vengono dette assicartesiani ed il punto O origine degli assi.
A seconda che l'unità di misura sugli assi x ed y sia la stessa o menoavremo un sistema monometrico o dimetrico. Gli assi potranno poiessere ortogonali (sistema ortogonale) oppure obliqui (sistema obliquo).
D'ora in poise non diversamente specificatoprenderemo sempre inconsiderazione sistemi di riferimento cartesiani ortogonali monometrici.
Prendiamo ora un punto qualsiasi P del piano e da esso conduciamo leperpendicolari agli assiindicando con A e B le intersezioni di questerispettivamentecon l'asse x e con l'asse y.
Fissata l'unità di misurasiano a e b le misure dei segmenti orientati ed ossia poniamo:
In tal modo ad ogni punto del piano rimangono associati due numeri reali oper meglio diredato che l'ordine dei due numeri reali è essenzialeuna coppiaordinata di numeri reali.
Viceversaassegnati due numeri reali a e bè sempre possibile determinareuno ed un solo punto P del piano che abbia a per ascissa e b per ordinata.Infattipreso sull'asse x un segmento orientato di misura a e sull'asse y un segmento orientato di misura bpossiamo condurre da A la parallela all'asse y e da B la parallelaall'asse x. Tali rette si incontreranno in uno ed un solo punto Pche avrà acome ascissa e b come ordinata. Pertanto possiamo affermare che:
Esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano e le coppieordinate di numeri reali.
Per indicare che a e b sono le coordinate del punto P scriveremo: P(ab).
Gliassi cartesiani dividono il piano in quattro quadrantiper la cuinumerazione si partirà da quello a destra in altoproseguendo in sensoantiorario.
1.3 Distanza tra duepunti
Fissato nel piano un sistema di assi cartesianiortogonalisiano A(x1y1) e B(x2y2)due punti di detto piano.
Perdeterminare la distanza (in valore assoluto) tra questi puntiriferendoci allafiguraosserviamo che:
In particolarela distanza di un punto P(xy) dall'origine sarà:
1.4 Punto medio di unsegmento
Dati due punti A(x1y1) e B(x2y2)vogliamo trovare le coordinate xM e yM diMpunto medio del segmento AB.
Con riferimento alla figuraconsideriamo le rette parallele AxAMxMe BxB tagliate dalle trasversali AxBx e AB.
Essendo M punto medio di ABdovrà essere AM = MB e quindiin virtù delteorema di TaleteAxMx = MxBxossia Mx dovrà essere il punto medio del segmento AxBx.
Pertanto: xM - x1 = x2- xM ==> 2 xM = x1+ x2 ==> xM = (x1+ x2) / 2
Analogamente si avrà: yM = (y1 + y2)/ 2 e quindi: