home page
pagina iniziale |
by |
|
Lacicloide.
Seun cerchio rotola senza strisciare sopra una retta fissadetta base-così che in ogni istante l’arco di circonferenza che si è sviluppato sullabase sarà uguale al segmentorettilineo percorso dal centro- un qualunque punto P del pianoche siarigidamente connesso col cerchiodescrive una curva che chiamasi cicloidee precisamente cicloide ordinaria seil punto appartiene alla circonferenza ( fig. 1)allungata (cycloidesprolatainflexa ) (fig. 2) o accorciata( fig. 3) ( cycloides curvatanodata)se esso giace invece all’interno o rispettivamente all’esterno del cerchio.
Questacurva è stata oggetto di moltistudi per parte di GalileoTorricelliDescartesFermatRobervalPascalHuygensLeibniz e altri geometri del secolo XVII.
Inuna posizione che si assume come inizialesiano C il centro del cerchioO ilpunto di contatto del cerchio con la basee P il punto considerato appartenentealla retta OC ( il quale coincide con O quando la cicloide è ordinaria); e siriferisca la curva ad un sistema di assi cartesiani ortogonaliprendendo perorigine Oper asse x la base col verso positivo nel senso del rotolamentoel’asse y volto positivamente da O a C. In una posizione qualunquediciamo
Sitrovano facilmente le espressioni delle coordinate x e y di
Inverochiamando H il piede della perpendicolare condotta da
(1) x= OQ-
Mail segmento OQ essendo uguale all’arco
Quindile (1) diventano
(2) x = rb + a senb y = r + a cosb
chesono le formole cercate.
Sein esse si aumenta b di 2kpdove k è un numero intero qualunque non cangia il valore di ymentre quello dix cresce di 2kpr. Ciò significa che la cicloide consta di infiniti archi tutti fra lorocongruentii quali si deducono da uno qualunque di essi mediante unatraslazione di grandezza 2prnel senso della base. Per assegnar la forma della curva basta quindi far variarebper esempiodallo zero a 2p.
L’equazionecartesiana della cicloide si ha eliminando tra le (2) il parametro b. La secondadi esse porge
dacui
edanche
Sostituendonella prima delle (2)risulta come equazione della cicloide
doveper la formola citataspetta al radicale il segno + o il segno – secondo chenel punto considerato il prodotto a senb è positivo o negativoepperòse a >0deve prendersi il segno + nella prima metà di ogni arco di curva e il segno– nella seconda metàe il contrario se a <0.
Ponendob = 0 nella seconda delle (2)si ricava: cos b= -
Ancoradalla seconda delle (2) si deduce che il massimo e il minimo valore di y sonraggiunti quando sia cosb=-1 e cosb=+1epperò tali valori di y sono r+aed r-a; la curva è quindi tuttasituata entro la striscia compresa fra le due retteparallele all’asse xaventi le equazioni y = r+a y =r-a.
Sipotrebbe anche dimostrare chementre la cicloide allungata è priva di puntidoppi ( punti in ognuno dei quali il punto generatore della curva viene a caderedue volte)ne hanno invece infiniti le altre due specie di cicloide.