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Insiemi non numerabili

Abbiamo visto come Cantor affronta il problema dell'infinito:afferma che due insiemi infiniti sono equivalenti quando tra i dueinsiemi esiste una relazione biunivoca (cioè una relazione che associa ad ognielemento di un insieme uno ed un solo elemento dell'altro). Gli insiemi cheabbiamo considerato erano tuttipiù o meno ovviamentenumerabilicioèsi poteva trovare per ognuno di questi insiemi una relazione biunivoca con l'insieme dei numeri naturali: vediamo ora un esempio di un insieme nonnumerabile.

L'insieme dei numeri reali

Dopo aver dimostrato che l'insieme dei numeri razionaliè numerabileproviamo a vedere come sicomporta l'insieme dei numeri reali.

Cantor procede per assurdoe assume che di fatto esista unasuccessione numerabile di numeri realiche li comprenda tutti. Assumiamo cioèche sia numerabile. A maggiorragione saranno numerabili i numeri reali compresi tra 0 ed 1. Sia f(n) larelazione biunivoca che fa corrispondere ad ogni nun f(n)con 0<f(n)<1 e questi f(n) 'esauriscano' tutti i numeri reali compresi trazero ed uno. Sia f_m(n) la m-esima cifra dopo lavirgola di f(n). Applichiamo ora la diagonalizzazionecioè costruiamo un numero che abbia come n-esima cifra dopo la virgola f_n(n)+1:si vede subito che questo nuovo numero non può essere compreso tra glif(n) che avevamo supposto esaurire tutti i numeri reali tra 0 ed 1infatti nedifferisce almeno per l'n-esima cifra! Questa contraddizione dimostra che non sipossono porre in relazione biunivoca i numeri reali con i numeri naturaliquindi si deve porre:

card()=C>.

Qui si scrive C per rappresentare la cardinalità di perché si dice che ha la'potenza del continuo'dove continuo è un altro nome dato all'insiemedei numeri reali. Si può giustificare tale nome con il fatto che i numeri realicoprono 'davvero'in modo 'continuo'la retta dei numeri. Si può in effettiutilizzare questa proprietà (che apparentemente anche i numeri razionaliposseggono) per mostrare in modo a mio avviso spettacolare come in effetti inumeri reali siano davvero 'di più' dei numeri razionali. Si procede così:
In modo intuitivo possiamo senz'altro affermare che il segmento di retta da 0 ad1 'è lungo' 1. Se prendiamo tutti i numeri razionali compresi tra 0 ed 1e 'racchiudiamo' ciascun numero razionale in un piccolo intervallinovienenaturale aspettarsi chesommando la lunghezza di ognuno di questi intervallini(eventualmente sovrapponentisi)si ottenga infine almeno 1 come risultato. Einvece no: proviamo a 'racchiudere' l'n-esimo numero razionale in unintervallino di lunghezza 1/10ⁿ. Sommiamo ora questiintervallini: si vedeche:

.

Insommai numeri razionali tra zero ed unopur essendoinfinitisono 'così pochi' cheanche se ciascuno di loro viene 'circondato'da un intervallino di lunghezza non nullanon riescono a 'ricoprire' per interoil segmento di lunghezza unitaria! Questo è il punto di partenza dellacosidetta teoria della misuradella quale non diremo altro.

Oraci si potrebbe aspettare che i punti di una superficiead esempio delquadrato di lato 1siano 'di più' di quelli di un segmentoma Cantor riuscìa porre questi due insiemi di punti in corrispondenza biunivoca.
Viene da chiedersi a questo punto cosa vuol dire che il segmento ha dimensione1 e una superficie dimensione 2se questi due insiemi di punti sonoequivalenti. In effetti quello di dimensione è un concetto topologico(che non approfondiremo) per cui è importante la continuità dellacorispondenza tra i punti: una figura A è topologicamente equivalente a B seesiste una corrispondenza biunivoca tra i punti di A e quelli di B e setale corrispondenza è continuacioè se punti in A la cui distanzatende a zero vengono trasformati in punti di B la cui distanza tende pure a zeroe viceversa. È quest'ultima condizione di continuità che non vienesoddisfatta dalla corrispondenza biunivoca trovata da Cantor che stabiliscel'equivalenza tra una superficie ed un segmento.
Quindi l'equivalenza nel senso della teoria degli insiemi non è equivalenzatopologica. In effetti non esistono due figure di dimensioni diverse chesiano equivalenti topologicamente (e questo è un teoremadetto della 'invarianzadella dimensionalità').

I numeri cardinali transfiniti

Cantorancora utilizzando il suo metodo diagonalecon ilquale aveva già dimostrato la non numerabilità di dimostra anche il seguente fatto notevole:

L'insieme P(D) formato da tutti i sottoinsiemi di un insiemedato D non si può porre in relazione biunivoca con D.

Questo è banalmente vero per D finitoma Cantor dimostraquesto risultato anche per D infinito. L'insieme P(D) si chiama insiemepotenza di De quindi per ogni insieme D vale:

card(P(D)) > card(D)

Dunque Cantor dimostra che non esistono isoli due 'tipi' di infinito che avevamo indicato con e con Cma addirittura una serie infinitadi modi essenzialmente differentidi 'essere infinito'. Chiaramenteil solito simbolo è insufficiente a rappresentarli tutti... Tali 'modi' di essere infinito siindicano con:

...

e questi strani oggetti si chiamano numeri cardinalitransfiniti di Cantor.

L'ipotesi del continuo

Viene naturale chiedersi a quale numero cardinale transfinito corrisponde C:sicuramente non ad ma si può affermare che

C = ?
Si può cioè dire che non esistono cardinali transfiniti 'intermedi' tra e C?

Questa è la famosa ipotesi del continuosulla qualeCantor si accanì nel tentativo di darne una dimostrazione. Non ci riuscì econsegnò la questione ai suoi successori e la storia è abbastanzainteressante: nel 1900 Hilbert cita questo problema come primo di una lista diproblemi irrisolti la cui soluzione avrebbe rappresentato un significativoavanzamento delle conoscenze matematiche; nel 1938 Gödel dimostra che se lateoria degli insiemi senza l'ipotesi del continuo è consistentelo èanche la teoria che si ottiene aggiungendo tale ipotesi come 'assioma'aggiuntivo e P. Cohen dimostra nel 1963 che si trovano nella stessa situazioneanche le teorie che si ottengono negando l'ipotesi del continuo!
In definitivasi può riguardare l'ipotesi del continuo più o meno alla stessastregua del famoso postulato delle parallele di Euclide: in sé taliaffermazioni non sono névere né false e così come negando il postulato delle parallele siottengono le geometrie non euclideenegando l'ipotesi del continuo si ottengonodelle teorie degli insiemi che si possono dire 'non cantoriane'.
Non si sa ancora se tali teorie 'non cantoriane' avranno implicazioni importantinello sviluppo della matematica e delle scienze fisiche: viene però naturaleosservare che alla base della teoria della relatività generale di Einsteinconil suo spazio-tempo curvoc'è la geometria non euclidea... forse possiamoaspettarci qualcosa di interessante dalle teorie non cantoriane degli insiemi